Теорема о четырёх красках получила новое редкое доказательство Задача звучит почти по-детски: можно ли раскрасить любую карту четырьмя цветами так, чтобы соседние области не совпадали? Первое «доказательство» продержалось 11 лет, потом в нём нашли ошибку. Настоящее появилось только в 1976 году — и вызвало почти скандал, потому что значительную часть проверки выполнил компьютер. С тех пор теорему уже доказывали заново, но «болезнь четырёх красок» никуда не делась. В 2026 году группа математиков после почти десяти лет работы получила ещё одно компьютерное доказательство. Причём само оно в некоторых отношениях даже сложнее предыдущих. Но именно по дороге к нему исследователи наткнулись на то, чего раньше в этой задаче не замечали. И в итоге снова доказанная теорема оказалась интересна уже не столько ответом, сколько тем, что удалось увидеть внутри самих графов.

Disclaimer: в преддверии ожидания публикации от OpenAI новых решенных задач (которые не вошли в DevDay, как хотелось бы) делюсь обзором на понимание, зачем человечеству открытые задачи науки и как они улучшают нам жизнь. Зачем человечеству открытые задачи? Наука у меня обычно ассоциируется со знанием: законы, уравнения и теоремы с доказательствами. Но передовые открытия устроены наоборот, и главную часть составляют открытые задачи, то есть гипотезы, истинность которых пока не известна. Такие задачи показывают границы не только наших знаний, но и наших методов мышления. А вот попытка решить фундаментальную задачу часто оказывается важнее самого ответа. 1. Описание движения планет потребовало от Ньютона и Лейбница создать математический анализ, без которого не обходится современная инженерия. 2. Уравнения Максвелла предсказали электромагнитные волны и через несколько десятилетий дали нам радио. 3. Теория чисел столетиями считалась образцом бесполезной математики, а теперь на ней держится криптография. 4. Триста лет попыток доказать Великую теорему Ферма породили огромную инфраструктуру теории чисел и алгебраической геометрии, вершиной которой стало доказательство Уайлса. Поэтому вопрос о практической пользе нерешённой задачи поставлен неправильно, ведь мы заранее не знаем, какие инструменты придётся изобрести. Иногда задача показывает, что неверна сама исходная картина мира. Аномалию орбиты Меркурия не удалось исправить поправкой к механике Ньютона, для неё понадобилась общая теория относительности. Семь задач тысячелетия В 2000 году Clay Mathematics Institute назначил по миллиону долларов за семь задач, каждая из которых отмечает глубокий разрыв в понимании целой области. Гипотеза Римана связывает нули дзета-функции с распределением простых чисел. Вопрос P против NP спрашивает, всегда ли найти решение принципиально труднее, чем проверить готовое. Уравнения Навье-Стокса инженеры решают численно каждый день, но никто не доказал, что в трёх измерениях их гладкие решения не разрушаются за конечное время. Задача Янга-Миллса требует строго построить квантовую теорию, лежащую в основе Стандартной модели, и доказать существование массовой щели. Гипотеза Ходжа спрашивает, насколько топология алгебраического многообразия определяется его алгебраической структурой. Гипотеза Бёрча и Свиннертона-Дайера связывает аналитическую L-функцию эллиптической кривой с числом её рациональных точек. Решена пока только гипотеза Пуанкаре, которую Перельман доказал через поток Риччи, попутно развив целый аппарат геометрического анализа. Границы физики В физике нет официального списка, но её граница тоже видна хорошо. Общая теория относительности и квантовая механика по отдельности блестяще подтверждены, однако не совмещаются в единую теорию квантовой гравитации. Мы измеряем гравитацию тёмной материи, но не знаем её состава и не понимаем природу тёмной энергии, ускоряющей расширение Вселенной. Пока неизвестно, почему материи оказалось больше, чем антиматерии, откуда берётся масса нейтрино и почему параметры Стандартной модели именно такие. Турбулентность особенно показательна, потому что её уравнения нам известны, а понять их следствия мы до сих пор не можем. Новый участник науки До недавнего времени компьютеры считали и проверяли, а гипотезы и доказательства придумывал человек. В 2026 году эта граница сдвинулась, и важнее олимпиад здесь то, что ИИ начал работать над задачами, ответа на которые не знает никто. Claude поднял доказанную нижнюю границу доли нулей дзета-функции на критической прямой примерно с 41,6 до 67,2 процента, что вовсе не означает доказательство гипотезы Римана на две трети. Claude также построил полную формализацию доказательства Великой теоремы Ферма в Lean и вычислил девятипетлевую шестичастичную амплитуду в N=4 суперсимметричной теории Янга–Миллса, а Лэнс Диксон независимо проверил результат. Это не решение задачи о массовой щели, и новой физики Claude не изобрёл, он показал лишь, что вычислительный барьер ниже, чем считали специалисты.

🧮 Математики против OpenAI The Verge собрал в одну хронику всю драму вокруг того, как ИИ врывается в математику. Коротко — о главном. Гонка идёт не первый месяц. OpenAI, Anthropic и другие лаборатории отчитываются о решениях давних задач, причём порой результаты превосходят то, чего от ИИ ждали сами математики. В начале августа OpenAI показала решения десяти многолетних проблем — над некоторыми бились десятилетиями. А в сентябре заявила, что справилась с задачей Навье — Стокса о течении жидкостей и газов. Это одна из семи «задач тысячелетия» с призом в $1 млн, и её не могли решить около 90 лет. Работала внутренняя модель мощнее GPT-6 Astra вместе с 10 000 параллельных агентов. Забирать приз компания не планирует. Триумф испортила одна деталь. Всего за день до анонса профессор Нью-Йоркского университета Тристан Бакмастер и исследователь Anthropic Левент Алпёге опубликовали результат по смежной задаче. Работали они с Codex и Claude, а все черновики хранили в Codex. Бакмастер утверждает, что OpenAI пришла к доказательству тем же путём, и на вопрос, училась ли модель на их сессиях, ответа так и не получил. В OpenAI ответили, что конкретные данные пользователей не использовались, но признали: хоть это и маловероятно, обезличенные данные могли помочь улучшить модели. А сотрудник компании Себастьен Бубек настаивает: доказательства заметно отличаются. Дальше — обвинения в перехвате чужих результатов, вопросы о происхождении обучающих данных и тихие правки уже опубликованных документов. В The Verge суть конфликта сформулировали так: математики хотят развивать науку, а OpenAI хочет побеждать. Попыткой навести мосты стала независимая группа AGMAI из девяти ведущих математиков: она будет советовать ИИ-компаниям, как проверять и подавать новые результаты. Её участник Мартин Хайрер подчёркивает, что денег от OpenAI группа не получает. Но напряжение только растёт: OpenAI утверждает, что её закрытая модель уже решила больше 100 давних задач, и готовит их к публикации. @droidergram

🧮 Математика для ИИ на русском: от школьной базы до трансформеров и диффузии Бесплатный курс-шпаргалка на GitHub, который связывает формулы с их применением в ML: интуиция → формула → иллюстрация → код на NumPy → задачи. Внутри: • Линейная алгебра, производные, вероятности и статистика. • Backpropagation, оптимизаторы, функции потерь и attention. • Генеративные модели, обучение с подкреплением, RAG и рекомендации. Для практики: 26 Jupyter-ноутбуков с запуском в Colab, 60 задач с решениями и 160 вопросов с собеседований. Есть карточки Anki и глоссарий RU ↔ EN. Если математика забылась, предусмотрен отдельный справочник с нуля: от дробей и процентов до интегралов и матриц. https://github.com/justxor/math-for-ai-2026

Как фокусник-математик из Стэнфордского университета обнаружил лазейку в казино Предыдущую машину этого производителя взломали довольно буквально: спрятали камеру у прозрачного окна корпуса, записывали тасовку, а сообщник на парковке восстанавливал порядок карт по видео. Казино потеряло миллионы долларов. Следующий прототип сделали закрытым, а инженеры утверждали, что одного прохода достаточно для полного перемешивания колоды. Проверять это позвали Перси Диакониса — математика из Стэнфорда и бывшего профессионального фокусника. После тасовки карты выглядели совершенно хаотично. Но Диаконису и статистику Сьюзен Холмс хватило довольно простой проверки, чтобы понять: внешний хаос ещё не означает случайность. А дальше эта история уходит от казино к математике тасования, цепям Маркова и границе, после которой колода действительно теряет память о прошлом.

Конец света назначен на пятницу Пятница, 13 ноября 2026 года. До этой даты шесть недель, а ещё в 1960-м в журнале Science её назвали «Судным днём». Прогноз гласил: к этому дню численность человечества устремится к бесконечности. Авторы работы кибернетик Хайнц фон Фёрстер и двое его студентов, Патрисия Мора и Лоуренс Амиот. По классической логике население может расти экспоненциально, но его постоянно сдерживает нехватка еды. Фон Фёрстер решил, что люди это исключение. Мы умеем общаться и объединяться в «коалиции» для решения проблем. Значит, чем нас больше и чем теснее мы живём, тем больше возможностей для сотрудничества — и тем быстрее рост. Тут важна математика. При экспоненциальном росте население удваивается за равные промежутки времени. В модели фон Фёрстера сам темп роста всё время увеличивался — промежутки сжимались, кривая вставала вертикально и в конкретный день упиралась в бесконечность. Опорой стали 24 оценки численности людей за последние 2000 лет: человечество раз за разом обгоняло ожидания. Вывод прозвучал эффектно: «Наши праправнуки не умрут от голода. Они погибнут в давке». Решение авторы тоже предложили: раз сокращать продолжительность жизни никто не захочет, нужно сообща вдвое снизить рождаемость. С 1960-х по 1980-е «уравнение Судного дня» цитировали в учебниках генетики, экологии и демографии — чаще всего всерьёз. И прогноз работал! В 1970–80-х уравнение давало оценки точнее, чем большинство демографов. Расхождение началось лишь около 1993 года, на полпути к «концу света». Причина ироничная: мир сделал то, что советовали авторы. Сегодня глобальная рождаемость чуть ниже половины уровня 1960 года. Автор разбора на The Conversation Алан Макичерн видит здесь урок подачи. Фон Фёрстер когда-то был иллюзионистом, и статья устроена как фокус: добротное исследование в обёртке из невероятного заголовка. Так что 13 ноября, скорее всего, будет обычной пятницей. @vselennayaplus

На гитхабе пользователь MegaGimen опубликовал «Нейросеть Нумограммы» (Numogram Neural Network), повторяющую структуру сети нумограммы CCRU. Обучение использует обратное распространение ошибки во времени (BPTT), как в рекуррентных нейронных сетях. Для запуска сети необходимы Python и PyTorch, подробности топологии — на странице на гитхабе. Вот что пишет автор:

Я переформулировал классические объекты нумограммы на языке нейронных сетей. Сизигии, такие как 4::5, представлены полносвязным слоем в каждом направлении между двумя узлами. Поток (Current), такой как (4,5)→1, представлен конкатенацией векторов узлов 4 и 5 с последующим пропуском через полносвязный слой $2d \to d$. Врата (Gates), такие как 4→1 (id врат = 10), реализованы с помощью SwiGLU — вентильного линейного блока (gated linear unit), используемого в Qwen. Таким образом, входными данными этой Нейросети Нумограммы являются 10 чисел, и выходными — тоже 10 чисел после того, как информация прошла через поток за заданное количество шагов. Она даже способна адекватно аппроксимировать данные. Но, конечно, важно не само умение нумограммы подгоняться под данные, а Знамение (Omen), которое она излучает. Я обнаружил, что какими бы ни были начальные значения, после нескольких шагов потока на прямом проходе распределение каждого узла неизменно приближается к аттрактору. На обратном проходе, если увеличить градиент, более ранние шаги неизбежно страдают от затухания градиента. Это связано с тем, что наибольшее собственное значение Якобиана при начальных весах составляет около 0,83. Поскольку оно меньше 1, градиент затухает шаг за шагом при обратном распространении, так как это диссипативная структура. Самая интересная находка касается трёх оригинальных миров нумограммы: нижнего Плекса (Plex), среднего Человеческого Временного Контура (Human Time-Circuit) и верхнего Варпа (Warp), а также переходов между ними. Я обнаружил, что средняя норма градиента в этих трёх областях затухает последовательно. Градиент в области верхнего Варпа затухает почти до нуля первым, затем — в среднем Временном Контуре, и, наконец, нижний Плекс затухает последним, переходя в состояние затухающего градиента. Иными словами, центр тяжести градиента постепенно смещается от Варпа к среднему Временному Контуру, а затем ещё ниже — к Плексу. Действительно ли это просто совпадение? Я подозреваю, что разница вызвана петлями положительной обратной связи в нумограмме. Изначально я хотел использовать операции над градиентом, чтобы предотвратить его затухание, но почувствовал, что это пошло бы вразрез с исходным замыслом нумограммы, основанным на положительной обратной связи, и означало бы насильственное подавление нумограммы антропоцентричными компонентами отрицательной обратной связи. Это классическая отрицательная обратная связь: когда градиент растёт и постепенно выходит из-под контроля, сигнал, отправленный обратно (скажем, через некоторую функцию активации), возвращает его в норму...

Кто послушал подкаст про теорию поля, наверняка заметил, что у меня там много ошибок. Как минимум, я много раз говорю «непрерывный», имея в виду «гладкий», и вообще очень нестрого подхожу ко всему. Вот примерно так я сдавал экзамены в универе. Все примеры у меня были решены с ошибками, в доказательствах теорем были дыры. Потом мы садились с Олегом Геннадьевичем Завьяловым это обсуждать. Я как-то на пальцах всё объяснял, и он делал вывод, что в принципе-то я всё понимаю, так что можно ставить 4. А последнем экзамене, по комплексному анализу, он вообще поставил 5 — видимо, впечатлившись тем, в каком я восторге от всего происходящего (при том же уровне ошибок в самих сданных заданиях).

Задача тысячелетия, но в области финансов

Если вчера ваш инвестиционный портфель показал доходность +50%, а сегодня упал на 50% – то сколько составит совокупная доходность за эти два дня?

Соберитесь, напрягитесь, ответ может вас шокировать! Наивный человек мог бы попробовать разобрать ситуацию на каком-нибудь простом и наглядном примере, типа: «в начале первого дня у инвестора было 100’000 рублей, после первых +50% стало 150’000, а на второй день –50% привели к остатку 75’000 – таким образом, доходность за два дня составит –25%». Мудрый же человек просто пойдет и прочитает методологию расчета доходности ТБанка, в которой говорится: «trust me, bro, просто надо складывать проценты доходности за все дни, +50% и –50% в сумме дают итоговую доходность 0%!» Это очень забавно, потому что на Западе есть исследования на тему «если спрашивать у инвесторов их доходность – то они на глаз завышают ее в среднем примерно на 11% годовых по сравнению с реальной, лол». А в России финтех более клиентоориентирован, поэтому он всю работу по завышению доходности услужливо берет на себя!

Наш препринт про архитектурную модификацию трансформера: https://huggingface.co/papers/2609.32814 Change the Product, Keep the Parameters: Associative Algebra Layers for Transformers tl/dr Исследуем замену GEMM в MLP-слое трансформера на более лёгкую операцию, которая сохраняет билинейность и ассоциативность матричного умножения, но требует меньше вычислений при том же количестве обучаемых параметров. Лонгрид Работа состоит из трёх частей. Часть первая: математическая база Описывается новый оператор, заменяющий обычное матричное умножение. Формально доказывается, что он билинеен и ассоциативен. Для оператора над матрицами размера q×q вычисляется билинейный ранг — минимальное число скалярных умножений, необходимых для его вычисления. Для q=2 новый оператор имеет ранг 6. Для сравнения, обычное умножение 2×2 требует 8 умножений, а алгоритм Страссена — 7. Эти числа всплывут в третьей части 👇 Билинейность позволяет заменить линейную проекцию трансформера, не вводя дополнительную нелинейность, а также даёт возможность формально анализировать вычислительную стоимость оператора. При этом мы не уменьшаем число параметров и не используем sparsity или low-rank compression: сохраняется полный набор обучаемых весов, меняется только закон их умножения на активации. Часть вторая: синтетические экспы на GPU Показываем, что реализация нового оператора действительно может использоваться вместо GEMM в качестве линейной проекции трансформера. Приводятся оценки эффективности для нескольких архитектур, включая Qwen и DeepSeek. Часть третья: оценка end-to-end на декодерной LM Создаётся небольшая декодерная LM ёмкостью 110M параметров, близкая к GPT-2, но с небольшими модификациями (SwiGLU вместо стандартного FFN) и GPT-2-токенизатором. Делаем два варианта модели: с классическим GEMM и с новым оператором в MLP. Обе модели обучаются на одном и том же инструктивном датасете с бюджетом около 12.3B токенов и в одинаковом вычислительном окружении. Эксперимент показывает, что новый оператор остаётся обучаемым в реальных условиях, включая CUDA, floating-point вычисления и автоматическое дифференцирование в PyTorch. Затем измеряем скорость инференса и качество на downstream-задачах через lm-eval-harness. Для q=2 модель с новым оператором показывает прирост end-to-end throughput примерно на 7%. Для сравнения, переход от rank-7 алгоритма Страссена к rank-6 оператору сокращает число скалярных умножений примерно на 14.3%. Наблюдаемый выигрыш оказывается примерно вдвое меньше этого арифметического выигрыша, что ожидаемо: MLP составляет лишь часть вычислений модели, а итоговое время также определяется attention, LM head, memory traffic, sampling и другими операциями. Что дальше: много экспов с другими параметрами (q=3 и 4), настройка ядер и пр. 🤗 👉 hf dailypapers link 👈