На прошлой неделе стало известно, что OpenAI занимаются задачей, связанной с уравнениями Навье-Стокса — фундаментальным описанием движения жидкостей и газов. Автор постов, дипломированный специалист по механике жидкости и газа, разбирает, почему эта задача считается одной из самых сложных в математике и физике.

В отличие от твёрдого тела, где движение описывается простой формулой f=ma, жидкость в каждой точке пространства может двигаться с разной скоростью и в разном направлении, поэтому вместо одной координаты x(t) используется поле скорости u(x,y,z,t) — то есть скорость жидкости в каждой точке в каждый момент времени.

• Сложность задачи растёт от школьной механики (f=ma) до гильбертовых пространств, функционального анализа и теории меры, оставаясь при этом в осязаемом физическом поле
• Главный источник сложности — конвективный членi (u·∇)u в уравнении: жидкость сама переносит собственное поле скорости, то есть текущее состояние потока влияет на его дальнейшие изменения (нелинейность)
• Взаимодействие нелинейности и вязкости порождает турбулентностьi — совокупность вихрей всех масштабов сразу; вращение маленького объёма жидкости и есть вихрь
• Из-за несжимаемости жидкости (постоянный объём) вихрь, растянутый потоком вдоль одной оси, становится тоньше по двум другим осям и начинает вращаться быстрее — этот механизм гонит энергию вниз по масштабам, порождая всё более мелкие вихри
• Скорость в этой математической модели — не число, а точка в бесконечномерном функциональном пространстве; в инженерной практике задача решается численно путём разбиения (дискретизации) пространства